🧩 복잡한 문제도 술술 풀리는 원(Circle) 문제 완벽 해결 가이드 📐

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목차

1. 원의 기본 개념과 방정식 이해하기
   • 원의 정의와 표준형/일반형 방정식
   • 중심과 반지름 구하는 방법
2. 원과 직선의 위치 관계 분석 및 해결 전략
   • 판별식을 이용한 방법
   • 점과 직선 사이의 거리를 이용한 방법
3. 원 위의 점에서의 접선 방정식 구하기
   • 접선의 기본 정의
   • 공식 활용 방법 (기울기, 접점 이용)
4. 원의 활용 문제: 자취의 방정식과 최대/최소
   • 자취의 방정식 설정 방법
   • 최대/최소 문제 해결을 위한 기하학적 접근

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1. 원의 기본 개념과 방정식 이해하기

원의 정의와 표준형/일반형 방정식

원은 평면 위의 한 정점(중심, Center)으로부터 일정한 거리(반지름, Radius)에 있는 모든 점들의 집합으로 정의됩니다. 원의 방정식을 다루는 것은 원 문제 해결의 가장 기초 단계입니다.

• 표준형 방정식: 중심이 $(a, b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 다음과 같습니다.
  $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
  이 형태는 중심과 반지름을 직관적으로 파악할 수 있어 가장 많이 활용됩니다.
• 일반형 방정식: 표준형을 전개하여 정리하면 다음과 같은 일반형을 얻을 수 있습니다.
  $$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$$
  여기서 $A, B, C$는 상수입니다. 일반형은 종종 문제의 조건으로 제시되며, 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 구해야 합니다.

중심과 반지름 구하는 방법

일반형 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$이 주어졌을 때, 표준형으로 변환하기 위해 완전제곱식을 이용합니다.

$$\left(x^2 + Ax + \frac{A^2}{4}\right) + \left(y^2 + By + \frac{B^2}{4}\right) = -C + \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4}$$
$$\left(x + \frac{A}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{B}{2}\right)^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4C}{4}$$

따라서, 중심의 좌표는 $\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ 이고, 반지름 $r$의 제곱은 $r^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4C}{4}$ 입니다. 이때, 원이 되기 위한 조건은 반드시 $r^2 > 0$, 즉 $A^2 + B^2 - 4C > 0$ 이어야 합니다. 이 조건이 만족되지 않으면 실수 좌표평면에서는 원이 존재하지 않습니다.

2. 원과 직선의 위치 관계 분석 및 해결 전략

판별식을 이용한 방법

직선의 방정식 $y = mx + n$을 원의 방정식 $x^2 + y^2 = r^2$ (중심이 원점인 경우)에 대입하여 $x$에 대한 이차방정식을 만듭니다. 이 이차방정식의 판별식 $D$를 사용하여 원과 직선의 교점 개수를 판단합니다.

• 서로 다른 두 점에서 만난다: $D > 0$ (두 개의 실근)
• 한 점에서 만난다 (접한다): $D = 0$ (하나의 중근)
• 만나지 않는다: $D < 0$ (서로 다른 두 허근)

점과 직선 사이의 거리를 이용한 방법

판별식보다 계산이 간결하고 기하학적 의미가 명확하여 원과 직선의 위치 관계 문제에 가장 많이 사용되는 방법입니다. 원의 중심 $(a, b)$와 직선 $l: Ax + By + C = 0$ 사이의 거리 $d$를 구하여 반지름 $r$과 비교합니다.

점 $(x_1, y_1)$과 직선 $Ax + By + C = 0$ 사이의 거리 $d$ 공식은 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

• 서로 다른 두 점에서 만난다: $d < r$ (거리가 반지름보다 짧으므로 직선이 원을 통과함)
• 한 점에서 만난다 (접한다): $d = r$ (거리가 반지름과 같으므로 직선이 원의 외부에 접함)
• 만나지 않는다: $d > r$ (거리가 반지름보다 길므로 직선이 원의 외부에 존재함)

이 방법은 특히 접선의 기울기나 상수 값을 구하는 문제, 혹은 현의 길이 등을 구할 때 매우 유용합니다.

3. 원 위의 점에서의 접선 방정식 구하기

접선의 기본 정의

접선(Tangent line)은 원과 단 하나의 교점을 가지는 직선을 의미하며, 접점과 원의 중심을 이은 반지름에 수직입니다. 이 수직 조건은 접선 방정식을 구하는 핵심 원리입니다.

공식 활용 방법 (기울기, 접점 이용)

문제에서 주어진 조건에 따라 다음 공식들을 선택적으로 사용합니다.

1. 원 위의 한 점 $(x_1, y_1)$이 주어졌을 때:
   • 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선 방정식:
     $$x_1 x + y_1 y = r^2$$
   • 원 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선 방정식:
     $$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$$
     이 공식은 주어진 접점의 좌표를 이용하여 빠르고 정확하게 접선을 구할 수 있게 해줍니다.
2. 기울기 $m$이 주어졌을 때:
   • 원 $x^2 + y^2 = r^2$에 접하고 기울기가 $m$인 접선 방정식:
     $$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$
     기울기가 $m$인 접선은 항상 두 개(원의 위쪽과 아래쪽) 존재하므로 $\pm$ 부호가 붙습니다.
3. 원 밖의 한 점이 주어졌을 때:
   이 경우는 공식이 따로 없으며, 주로 다음 두 가지 방법 중 하나를 사용합니다.
   • 접점을 $(x_1, y_1)$로 설정 후 접선 공식 $x_1 x + y_1 y = r^2$을 이용하고, 이 접선이 주어진 원 밖의 점을 지난다는 조건을 이용해 연립방정식을 풉니다.
   • 접선의 기울기를 $m$으로 설정 후 접선 공식 $y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$을 이용하고, 이 접선이 주어진 원 밖의 점을 지난다는 조건을 이용해 $m$에 대한 방정식을 풉니다.

4. 원의 활용 문제: 자취의 방정식과 최대/최소

자취의 방정식 설정 방법

자취의 방정식(Locus equation)은 특정 조건을 만족하며 움직이는 점의 집합을 나타내는 방정식입니다. 원과 관련된 자취 문제는 종종 원의 정의(중심으로부터 거리가 일정함)를 활용하거나, 아폴로니우스의 원과 같은 특수한 원의 형태를 이용합니다.

자취의 방정식 풀이 단계:

1. 움직이는 점의 좌표를 $(x, y)$로 설정합니다.
2. 문제에서 주어진 조건을 $(x, y)$와 다른 주어진 점 또는 직선의 관계식으로 나타냅니다. (대부분 거리 공식, 내분점/외분점 공식 등이 사용됨)
3. 주어진 다른 조건을 이용하여 식을 간단히 정리하여 $x$와 $y$ 사이의 관계식을 구합니다. 이 관계식이 바로 자취의 방정식이 됩니다.
4. 만약 자취의 점이 원 위의 점으로 제한된다면, 그 원의 방정식을 이용해야 합니다.

최대/최소 문제 해결을 위한 기하학적 접근

원 문제에서 거리의 최대값/최소값을 구하는 문제는 대부분 기하학적인 해석을 통해 쉽게 해결할 수 있습니다.

1. 원 밖의 한 점 $\text{P}$와 원 위의 점 $\text{Q}$ 사이의 거리 $\text{PQ}$의 최대/최소:

• 원의 중심 $\text{C}$와 점 $\text{P}$ 사이의 거리 $d = \overline{\text{PC}}$를 먼저 구합니다.
• 최소 거리: $d - r$ (점 $\text{P}$와 원의 중심을 잇는 선분 $\overline{\text{PC}}$가 원과 만나는 점까지의 거리)
• 최대 거리: $d + r$ (점 $\text{P}$와 원의 중심을 잇는 선분 $\overline{\text{PC}}$를 연장하여 원과 만나는 점까지의 거리)

2. 평행한 직선 $l_1$과 원 위의 점 $\text{Q}$ 사이의 거리의 최대/최소:

• 원의 중심 $\text{C}$와 직선 $l_1$ 사이의 거리 $d$를 구합니다.
• 최소 거리: $|d - r|$
• 최대 거리: $d + r$

이처럼 원 문제의 해결 방법은 기본 개념(방정식)을 확실히 익히고, 문제의 유형(위치 관계, 접선, 활용)에 따라 가장 효율적인 공식이나 기하학적 해석 방법을 선택적으로 적용하는 데 달려 있습니다.